| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kompleks Fonksiyonlar Teorisi 1 | MAT4111 | 3 | 7 | 2 | 2 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Özlem Bakşi |
| Dersi Veren(ler) | Özlem Bakşi, Neslihan ÖZDEMİR |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin kompleks analizin temel teoremlerini — Cauchy–Riemann denklemleri, harmonik fonksiyonlar, Cauchy Teoremi, Cauchy İntegral Formülü, Maksimum Modül Prensibi, Liouville Teoremi, kompleks fonksiyonların seri açılımları, Rezidü Teoremi ve Riemann Tasvir Teoremi — ispatlarıyla birlikte anlamalarına ve uygulama yapmalarına yardımcı olmaktır. Bu dersi alan öğrencilerin, reel değişkenli fonksiyonlar teorisindeki türev ve integral kavramları ile kompleks fonksiyonlar teorisindeki karşılıklarını ayırt edebilmeleri; analitik fonksiyonların sahip olduğu özelliklerini anlayarak teorik ve uygulamalı problemlerde kullanabilmelerini amaçlamaktadır. Bunun yanı sıra, kompleks fonksiyonlar kuramının matematiğin diğer alanlarındaki ve disiplinler arası uygulamalarına yönelik çalışmalarını anlama kabiliyeti sağlamayı hedeflemektedir. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Kompleks sayılar ve özellikleri; Kompleks fonksiyonlar; Kompleks fonksiyonlarda limit ve süreklilik; Türev; Kompleks değişkenli bir fonksiyonun integrali, Cauchy Teoremi; Kompleks sayıların dizileri ve serileri; Taylor ve Laurent serileri; Rezidü teorisi. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Kompleks sayıların tanımını ve gösterimlerini (cebirsel, geometrik, kutupsal, üstel), eşleniklerini, köklerini ve kompleks düzlemdeki bölgeleri açıklayabilecekler, bu bilgileri problem çözmede kullanabileceklerdir.
- Kompleks değişkenli fonksiyonların tasvirlerini inceleyebilecek; üstel, logaritmik, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonların kompleks düzlemdeki davranışlarını analiz edebileceklerdir.
- Kompleks fonksiyonlarda limit, süreklilik ve türev kavramlarını açıklayabilecek; Cauchy–Riemann koşulları ve harmonik fonksiyonlar yardımıyla analitik fonksiyonları belirleyebileceklerdir.
- Çevre kavramını tanımlayabilecek, kompleks integralleri çeşitli yöntemlerle (parametrizasyon, çevre integralleri, anti türevler, Cauchy–Goursat Teoremi, Rezidü Teoremi) hesaplayabilecek ve bu hesaplamaları uygulamalı problemlerde kullanabileceklerdir.
- Kompleks diziler ve seriler için yakınsaklığı inceleyebilecek, Taylor ve Laurent serilerini elde ederek fonksiyonların tekil noktalarını sınıflandırabileceklerdir.
- Rezidü kavramını kullanarak integralleri çözebilecek; analitik fonksiyonların sıfırlarını, kutuplarını ve bunlar arasındaki ilişkileri açıklayabileceklerdir.
- Elde ettiği teorik bilgileri matematik, fizik uygulamalarında yorumlayabilecek ve problem çözme sürecinde kullanabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Kompleks sayılar: tanımı, cebirsel gösterim, geometrik gösterim (Argand düzlemi), cebirsel işlemler, kutupsal gösterim ve özellikler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Öğrencilere karmaşık sayılarla toplama, çarpma ve kutupsal gösterim üzerinden basit işlemler yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks sayıların matematikte ve fizik, mühendislik diğer disiplinlerde kullanım alanları üzerine kısa bir tartışma. | 1. Reel sayılar kümesi ve cebirsel işlemlerin özelliklerine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, AP24-AP25. 2. Kompleks sayılar: tanımı, cebirsel gösterim, geometrik gösterim (Argand düzlemi), cebirsel işlemler, kutupsal gösterim ve özellikleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 1-22. |
| 2 | Konu Anlatımı Kompleks eşlenik, kompleks sayıların üstel formu, üstel formda çarpım ve kuvvetler, çarpım ve bölümün argümanları, kompleks sayıların kökleri ve kompleks düzlemde bölgeler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Kompleks sayıların eşleniği ile ilgili örnekler; kutupsal ve üstel formda, çarpım ve bölümün argümanlarının bulunmasına, kompleks köklere yönelik kısa alıştırmalar. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks sayıların cebirsel, kutupsal, üstel gösterimleri üzerine tartışma. | 1. Reel sayılarda üstel ve trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi.Zorunlu Kaynak: Stewart, Calculus: Early Trancendentials, A26-A29. 2. Kompleks eşlenik, kompleks sayıların üstel formu, üstel formda çarpım ve kuvvetler, çarpım ve bölümün argümanları, kompleks sayıların kökleri ve kompleks düzlemde bölgeler, konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 22-33. |
| 3 | Konu Anlatımı: Kompleks değişkenli fonksiyonların tanımı ve özellikleri, tasvirler, üstel fonksiyonun tasvirleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Kompleks fonksiyon tanımına basit örnekler verilmesi; fonksiyonların kompleks düzlemdeki tasvirlerine görsel örnekler. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks fonksiyonların “tasvir” kavramı üzerinden reel fonksiyonlarla karşılaştırılması. Kısa Sınav 1 (15-20 dk.): Ders sonunda, 1. ve 2. hafta konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Reel fonksiyonların tanımı, üstel/ trigonometrik fonksiyonların özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 1–26. 2. Kompleks değişkenli fonksiyonların tanımı ve özellikleri, tasvirler, üstel fonksiyonun tasvirleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 33-44. 3. Kısa Sınav 1: Kompleks sayılar ve ilgili kavramlar. Kaynak: Ders Kitabı, 1-33. |
| 4 | Konu Anlatımı: Kompleks fonksiyonlarda limit kavramı, limitlerin temel özellikleri ve teoremleri, sonsuzdaki limitler, kompleks fonksiyonlarda süreklilik. Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Kompleks fonksiyonların limitleri ile ilgili basit örnekler; süreklilik kavramına ilişkin alıştırmalar. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks fonksiyonlarda limit ve süreklilik kavramlarının reel fonksiyonlarla benzerlik ve farklılıkları üzerine tartışma. | 1. Reel fonksiyonlarda limit ve süreklilik kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 78-83. 2. Kompleks fonksiyonlarda limit kavramı, limitlerin temel özellikleri ve teoremleri, sonsuzdaki limitler, kompleks fonksiyonlarda süreklilik konuları içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 44-55. |
| 5 | Konu Anlatımı: Kompleks türev kavramı, türev kuralları ve türev formülleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Basit kompleks fonksiyonların türevlerinin hesaplanması; polinom, üstel ve trigonometrik fonksiyonların türevlerine ilişkin örnekler. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks türev kavramının reel türev kavramı ile karşılaştırılması ve tartışılması. Kısa Sınav 2 (15-20 dk.): Ders sonunda, 3. ve 4. hafta konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda türev kavramı ve temel türev kurallarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus,123–143. 2. Kompleks fonksiyonların türev kuralları ve türev formülleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 60-63. 3. Kısa Sınav 2: Kompleks fonksiyonlar, limit ve süreklilik. Kaynak: Ders Kitabı, 35-55. |
| 6 | Konu Anlatımı: Cauchy–Riemann koşulları, türevlenebilirlik için yeterli şartlar, kutupsal koordinatlarda Cauchy–Riemann koşulları, analitik fonksiyonlar, harmonik fonksiyonlar. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Verilen bir fonksiyonun Cauchy–Riemann koşullarını sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi; analitik fonksiyonlara ve harmonik fonksiyonlara basit örnekler verilerek uygulama yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Analitik fonksiyon kavramının matematikteki önemi üzerine tartışmanın yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda çok değişkenli fonksiyonların tanımı ve kısmi türev kavramının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 794-795,810-814. 2. Cauchy–Rieman koşulları, türevlenebilirlik için yeterli şartlar, kutupsal koordinatlarda Cauchy–Riemann koşulları, analitik fonksiyonlar, harmonik fonksiyonlar ile ilgili konuların önceden okunulması. Kaynak: Ders Kitabı, 56-86. |
| 7 | Konu Anlatımı: Elementer fonksiyonlar: üstel fonksiyon, logaritmik fonksiyon, logaritmaların dalları ve türevleri, logaritmaları içeren bazı özdeşlikler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ilgili basit örnekler, logaritma özdeşliklerine yönelik alıştırmalar. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Üstel ve logaritmik fonksiyonların kompleks düzlemdeki davranışlarının tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda üstel ve logaritmik fonksiyonların temel özellikleri ile türevlerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 165,177. 2. Elementer fonksiyonlar: üstel fonksiyon, logaritmik fonksiyon, logaritmaların dalları ve türevleri, logaritmaları içeren bazı özdeşlikler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 87-101. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Kompleks üsler, trigonometrik fonksiyonlar, hiperbolik fonksiyonlar, ters trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Kompleks üslerle trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlara yönelik basit alıştırmalar. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonların reel fonksiyonlarla benzerlikleri ve farklılıklarının tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonların temel özellikleri ile türevlerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 156-160,440-441. 2. Kompleks üsler, trigonometrik fonksiyonlar, hiperbolik fonksiyonlar, ters trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar. içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 101-115. |
| 10 | Konu Anlatımı: Kompleks integraller, çevreler ve çevre integralleri, çevre integrallerinin modülleri için üst sınırlar. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Basit düzeyde integrallerin çözümlerinin nasıl bulunduğu üzerine uygulamanın yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Kompleks fonksiyonların türev ve integral kavramlarının reel fonksiyonlarla karşılaştırılması ve tartışılması. | 1. w(t) (t reel bir değişken) fonksiyonunun türev ve belirli integraline ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi, çevreler ve çevre integralleri içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı 117-122. 2. Kompleks integraller, çevreler ve çevre integralleri, çevre integrallerinin modülleri için üst sınırlar konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 122-137. |
| 11 | Konu Anlatımı: Cauchy integral formülü, Cauchy integral formülünün genişlemesi, genişlemenin bazı sonuçları, Liouville Teoremi, Cebirin Temel Teoremi ve Maksimum Modül Prensibi. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Cauchy integral formülünün örneklerle uygulamasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Cauchy integral formülünün kompleks analizdeki merkezi önemine ilişkin tartışmanın yapılması. Kısa Sınav 3 (15-20 dk.): Ters yüz edilmiş öğrenme (flipped learning) yöntemi çerçevesinde, ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan 10. haftaya kadar olan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda belirli integraller ve Kalkülüs’ün Temel Teoremi’nin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 316-328. 2. Cauchy integral formülü, Cauchy integral formülünün genişlemesi, genişlemenin bazı sonuçları, Liouville Teoremi, Cebirin Temel Teoremi ve Maksimum Modül Prensibi konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 164-175. 3. Kısa Sınav 3 için ön hazırlık: (10. haftaya kadar olan konular) Kaynak: Ders Kitabı, 1-137. |
| 12 | Konu Anlatımı: Kompleks sayılarda seriler; diziler ve serilerin yakınsaklığı, Taylor serileri ve örnekler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): 2. ve 3. dereceden polinomların köklerinin bulması üzerine uygulama yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Reel ve kompleks serilerin yakınsaklık davranışlarının tartışmasının yapılması. | 1. Reel diziler, seriler ve yakınsaklık kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 572,586, 604-610. 2. Kompleks sayılarda seriler; diziler ve serilerin yakınsaklığı, Taylor serileri ve örnekler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 175-195. |
| 13 | Konu Anlatımı: Laurent serileri, örnekler, kuvvet serilerinde mutlak ve düzgün yakınsaklık, kuvvet serilerinin toplamlarının sürekliliği, kuvvet serilerinin integrali ve türevi, seri temsillerinin tekliği, kuvvet serilerinin çarpımı ve bölümü. Sınıf-içi Uygulama: (15 dk) Verilen bir fonksiyonun Laurent serisini belirli bölgelerde bulunması. Sınıf-içi Tartışma: (10-15 dk.) Taylor ve Laurent serilerinin farklarının tartışmasının yapılması. Kısa Sınav 4 (15-20 dk.): Ders sonunda, 11. ve 12. Haftalarda derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Reel kuvvet serileri ve Taylor serilerinin temel özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 616-626. 2. Laurent serileri, örnekler, kuvvet serilerinde mutlak ve düzgün yakınsaklık, kuvvet serilerinin toplamlarının sürekliliği, kuvvet serilerinin integrali ve türevi, seri temsillerinin tekliği, kuvvet serilerinin çarpımı ve bölümü konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 195-225. 3. Kısa Sınav 4: Cauchy integral formülü, Taylor serileri ve uygulamaları. |
| 14 | Konu Anlatımı: f(z) fonksiyonunun izole tekil noktaları, rezidüler, Cauchy Rezidü Teoremi, sonsuzdaki rezidü. Sınıf-içi Uygulama: (15 dk) Fonksiyonların tekil noktaları ve rezidülerin hesaplanması için basit örneklerin yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma: (10-15 dk.) Rezidü kavramının kompleks analizdeki yeri hakkında tartışma yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda kısmi kesirlere ayırma yönteminin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 480-484. 2. Cauchy Rezidü Teoremi, sonsuzdaki rezidü konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 229-238. |
| 15 | Konu Anlatımı: İzole tekil noktaların üç türü, kutuplardaki rezidüler, analitik fonksiyonların sıfırları, sıfırlar ve kutuplar. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Verilen fonksiyonlarının tekil noktalarının türlerinin belirlenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10-15 dk.): Bir fonksiyonun sıfırları ile kutupları arasında nasıl bir ilişki vardır sorusunun tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda rasyonel fonksiyonların payda sıfırlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Zorunlu Kaynak: Thomas, Calculus, 9. 2. İzole tekil noktaların üç türü, kutuplardaki rezidüler, analitik fonksiyonların sıfırları, sıfırlar ve kutuplar konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 238-248. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 4 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 6 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 4 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 20 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 30 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
