| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kompleks Fonksiyonlar Teorisi 2 | MAT4340 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz, Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Seçmeli @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Uzmanlık/Alan Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Özlem Bakşi |
| Dersi Veren(ler) | Özlem Bakşi, Neslihan ÖZDEMİR |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin kompleks analizin ileri düzey kavramlarını anlamalarına ve uygulamalarına yardımcı olmaktır. Ders kapsamında, Rezidü Teoremi’nin reel improper integrallerin hesaplanmasındaki uygulamaları, sinüs ve kosinüs içeren belirli ve improper integrallerin çözümü, elemanter fonksiyonlara dayalı konformal dönüşümler (üstel, logaritmik, trigonometrik ve kök fonksiyonları), z2 ve z1/2 fonksiyonlarının dönüşümleri, polinomların karekökleri ve harmonik fonksiyonların dönüşümleri incelenecektir. Ayrıca, öğrencilerin konformal dönüşümün ileri özelliklerini, sınır koşullarının dönüşümlerini ve bu yöntemlerin matematik, fizik ve mühendislikteki uygulamalarını anlamaları ve kullanabilmeleri amaçlanmaktadır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Rezidü Teoremi’nin uygulamaları; reel improper integrallerin hesaplanması; sinüs ve kosinüs içeren belirli ve improper integraller; elemanter fonksiyonlara dayalı konformal dönüşümler (üstel, logaritmik, trigonometrik ve kök fonksiyonları); z2 ve z1/2 fonksiyonlarının dönüşümleri; polinomların karekökleri; harmonik eşlenikler ve harmonik fonksiyonların dönüşümleri; konformal dönüşümün ileri özellikleri; sınır koşullarının dönüşümleri; konformal dönüşümlerin uygulamaları; genel uygulamalar. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Rezidü Teoremi’nin reel improper integrallerin çözümündeki uygulamalarını anlayarak, bu yöntemle integral hesaplayabileceklerdir.
- Sinüs ve kosinüs içeren belirli ve improper integrallerin çözümünde kompleks analiz yöntemlerini kullanabileceklerdir.
- Elemanter fonksiyonlara dayalı konformal dönüşümleri (üstel, logaritmik, trigonometrik ve kök fonksiyonları) açıklayarak, bu dönüşümleri uygulamalı problemlerde kullanabileceklerdir.
- z^2 ve z^1/2 dönüşümlerinin Argand düzlemindeki etkilerini analiz edebileceklerdir.
- Harrmonik fonksiyonların ve harmonik eşleniklerin özelliklerini açıklayarak, bunların dönüşümlerini uygulayabileceklerdir.
- Konformal dönüşümün ileri özelliklerini ve sınır koşullarının dönüşümlerini kavrayarak bu bilgileri sınır değer problemlerinde kullanabileceklerdir.
- Edindiği kuramsal bilgileri matematik, fizik uygulamalarına aktararak, problem çözme sürecinde kullanabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Rezidü Teoremi’nin uygulamaları; reel improper integrallerin hesaplanmasına giriş. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Basit reel improper integral örnekleri verilerek çözüm yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Rezidü Teoremi’nin reel analizde doğrudan çözülemeyen integrallerin hesaplanmasındaki rolünün tartışılması. | 1. Reel sayılarda belirli ve belirsiz integrallerin özelliklerine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 316–328. 2. Rezidü Teoremi’nin uygulamaları ve reel improper integrallerin hesaplanmasına giriş konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 261-265. |
| 2 | Konu Anlatımı: Reel improper integrallerin hesaplanması. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Reel eksende verilen improper integral örneklerinin rezidü teoremi yardımıyla çözülmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Reel integrallerin kompleks analiz yöntemleriyle hesaplanmasının avantajlarının tartışılması. | 1. Reel sayılarda integral hesaplama yöntemlerine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 456–475. 2. Reel improper integrallerin hesaplanması konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 265-270. |
| 3 | Konu Anlatımı: Sinüs ve kosinüs içeren belirli ve improper integraller. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Sinüs ve kosinüs içeren reel integrallerin rezidü teoremi yardımıyla çözümüne yönelik örnekler verilmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Trigonometrik fonksiyonlar içeren reel integrallerin kompleks analiz yöntemleriyle çözümünün avantajları üzerine tartışılması. Kısa Sınav 1 (15–20 dk.): Ders sonunda, 1. ve 2. hafta konularını kapsayan kısa sınav. | 1. Reel fonksiyonların tanımı, üstel/trigonometrik fonksiyonların özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 1–26. 2. Sinüs ve kosinüs içeren belirli ve improper integraller konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 269-272. 3. Kısa Sınav 1: (Rezidü Teoremi ve reel improper integraller) Kaynak: Ders Kitabı, 261-272. |
| 4 | Konu Anlatımı: Elemanter fonksiyonların tasvirleri; lineer dönüşümler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla tanımlanan dönüşümler için örnekler yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Lineer dönüşümlerin matematiksel problemlerin çözümündeki etkisi üzerine bir tartışma yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda üstel ve logaritmik fonksiyonların temel özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 36-41. 2. Elemanter fonksiyonların tasvirleri ve lineer dönüşümler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 311-314. |
| 5 | Konu Anlatımı: Elemanter fonksiyonların tasvirleri; w=1/z dönüşümü ve 1/z ile yapılan tasvirler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): w=1/z dönüşümünün Argand düzlemindeki etkilerini gösteren örnekler verilmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): w=1/z dönüşümünün reel ve kompleks fonksiyonlar olarak davranışları üzerindeki farklılıkları hakkında tartışılması. Kısa Sınav 2 (15–20 dk.): Ders sonunda, 3. ve 4. hafta konularını kapsayan kısa sınav. | 1. Reel fonksiyonlarda rasyonel fonksiyonların özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 9-11. 2. w=1/z dönüşümü ve 1/z ile yapılan tasvirleri içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 313–318. 3. Kısa Sınav 2: (3. ve 4. hafta konuları) Kaynak: Ders Kitabı, 269-272 ve 311-314. |
| 6 | Konu Anlatımı: Elemanter fonksiyonların tasvirleri; lineer kesirli dönüşümler ve kapalı formu. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Linear kesirli dönüşümler için örnekler verilmesi, sonuçların geometrik olarak incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Linear kesirli dönüşümler ve reel dönüşümlerden farklarının tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda rasyonel fonksiyonların geometrik özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 106-109. 2. Lineer kesirli dönüşümler ve kapalı formu konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 319-324. |
| 7 | Konu Anlatımı: Üst yarı düzlemin tasviri; w=sinz dönüşümü. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Üst yarı düzlemin tasviri ve sinz dönüşümünün etkilerinin incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Trigonometrik fonksiyonların davranışlarının tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda trigonometrik fonksiyonların özelliklerinin hatırlanması. Kaynak: [3], 137–143. 2. Üst yarı düzlemin tasviri ve w=sinz dönüşümünü içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 325–335. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: z^22 ve z^1/2 dönüşümleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): z^2 ve z^1/2 dönüşümlerinin Argand düzlemindeki etkilerinin incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Çok değerli fonksiyonların ve dallanma noktalarının tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda kare ve karekök fonksiyonlarının özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 8-10. 2. z^2 ve z^1/2 dönüşümlerinin dönüşümlerini içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 336-340. |
| 10 | Konu Anlatımı: Konformal dönüşümlere giriş: açıların korunması ve ölçek faktörleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Açıların korunması ve ölçek faktörleriyle ilgili örneklerin incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Konformal dönüşümlerin geometrik temeli olan açıların korunması ve ölçek faktörleri üzerine tartışma yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda türev ve türevin geometrik anlamının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 123–136. 2. Açıların korunması ve ölçek faktörleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 355-360. |
| 11 | Konu Anlatımı: Yerel ters fonksiyonlar. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Yerel ters fonksiyonların tanımı ve örnekler üzerinden türevleriyle ilişkilerinin incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Yerel ters fonksiyonların konformal dönüşümlerdeki rolü üzerine bir tartışma yapılması. . Kısa Sınav 3 (15–20 dk.): 10. haftaya kadar olan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda ters fonksiyon kavramı ve türev ilişkilerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 177-180. 2. Yerel ters fonksiyonları içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 360-363. 3. Kısa sınav 3: 10. haftaya kadar olan konular) Kaynak: Ders Kitabı, 261-340. 355-360. |
| 12 | Konu Anlatımı: Harmonik eşlenikler; harmonik fonksiyon dönüşümleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Harmonik eşleniklerin bulunması ve bu fonksiyonların dönüşümlerinin incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Harmonik eşleniklerin analitik fonksiyonlarla ilişkisi üzerine bir tartışma yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda Laplace denklemi ve harmonik fonksiyonların özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 820-821. 2. Harmonik eşlenikler ve harmonik fonksiyon dönüşümlerini içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 363-367. |
| 13 | Konu Anlatımı: Sınır koşullarının dönüşümleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Sınır değer problemlerinde sınır koşullarının konformal dönüşümler altında nasıl değiştiğinin incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Sınır koşullarının dönüşümlerinin uygulamaları üzerine bir tartışma yapılması. Kısa Sınav 4 (15-20 dk.): Ders sonunda, 11. ve 12. haftalarda derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda sınır değer problemlerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 283-284. 2. Sınır koşullarının dönüşümlerini içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 367-372. 3. Kısa Sınav 4: 11.–12. hafta konuları Kaynak: Ders Kitabı,360-367. |
| 14 | Konu Anlatımı: Konformal dönüşümlerin uygulamaları: sabit sıcaklıklar (steady temperatures) problem. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Bir bölgedeki Laplace denkleminin konformal dönüşüm yardımıyla çözülmesi; sabit sıcaklık dağılımı problemlerine örnek yapılması. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Konformal dönüşümlerin uygulamalarındaki rolü üzerine tartışma yapılması. | 1. Reel fonksiyonlarda Laplace denkleminin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 820-821. 2. Sabit sıcaklıklar (steady temperatures) uygulamasını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 373-375. |
| 15 | Konu Anlatımı: Konformal dönüşümlerin uygulamaları: sabit sıcaklıklar – yarı düzlemde (steady temperatures in a half plane) problem. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Yarı düzlemde verilen Laplace denkleminin konformal dönüşüm yardımıyla çözülmesi; sıcaklık dağılımı probleminin örnekler üzerinden incelenmesi. Sınıf-içi Tartışma (10–15 dk.): Yarı düzlemde sabit sıcaklık probleminin, 14. hafta uygulamasındaki sabit sıcaklık problemine göre benzerlik ve farklılıklarının tartışılması. | 1. Reel fonksiyonlarda Laplace denklemi ve sınır koşullarının fiziksel anlamının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 894–902. 2. Sabit sıcaklıklar: yarı düzlemde (steady temperatures in a half plane) uygulamasını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı,375-378. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 4 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 2 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 3 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 20 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 20 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
