| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kontrol Teoriye Giriş | MAT4390 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz, Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Seçmeli @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Uzmanlık/Alan Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Okan DUMAN |
| Dersi Veren(ler) | Okan DUMAN, Eyüp Kızıl |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilere matematiksel kontrol teorisinin temellerini tanıtmaktır. Öğrenciler, çeşitli matematiksel disiplinlerde ortak olarak kullanılan kavramların kontrol teorisindeki rolünü kavrayacak ve teorinin uygulamalarına dair genel bir bakış kazanacaklardır. Ayrıca, diferansiyel geometrinin kontrol teorisindeki önemi vurgulanacak ve Lie teorisinin bu alana olan katkıları ele alınacaktır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Diferansiyellenebilir manifoldlar, tanjant uzayı, tanjant demeti, Lie türevi, Lie grupları, Lie cebiri, genel kontrol sistemleri, çeşitli kontrol sistemleri; klasik problemler. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler; matematiksel kontrol teorisinin temel kavramlarını tanımlayabilecek ve bunları farklı problem türlerine uygulayabilecektir.
- Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler; çeşitli matematiksel disiplinlerden (analiz, cebir, geometri) gelen ortak kavramların kontrol teorisindeki kullanımını açıklayabilecektir.
- Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler; kontrol teorisinin mühendislik ve matematikteki temel uygulamalarını örneklerle tartışabilecektir.
- Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler; diferansiyel geometri araçlarını kullanarak kontrol sistemlerini inceleyebilecektir.
- Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler; Lie grupları ve Lie cebirlerinin kontrol teorisindeki rolünü açıklayabilecektir.
- Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler; kontrol teorisini matematiğin farklı alanlarıyla ilişkilendirerek disiplinler arası bir bakış açısı geliştirebilecektir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Diferansiyellenebilen manifoldlar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Topolojik uzay ve alt topolojik uzay kavramları üzerine uygulamanın yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Türev kavramının herhangi bir küme üzerine nasıl tanımlabileceği üzerine tartışmanın yapılması | 1. Topolojik uzaylar, alt topolojiler ve taban kavramlarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 75-78. 2. Manifold, topolojik manifold ve diferensiyellenebilir manifold kavramlarını içeren konular ile ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: [1], 5-10. |
| 2 | Konu Anlatımı: Diferansiyellenebilir (Türevlenebilir) Manifoldlar Sınıf-içi Uygulama (10 dk.): Hausdorff’lük ve İkinci sayılabilirlik kavramlarının ele alınması ve buna ilişkin tartışmanın yapılması Kısa Sınav 1 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Kapalı/açık küme, sürekli fonksiyonlar, homeomorfizma ve Hausdorff uzay kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 92-109. 2. Türevlenebilir manifoldlar üzerinde, alt manifold kavramları, difeomorfizmalar ve ters fonksiyon teoremlerinin okunması Kitabı [1], 10-16. 3. Kısa Sınav 1: (türevlenebilir manifold örnekleri üzerine) Kaynak: [1], 5-16. |
| 3 | Konu Anlatımı: Tanjant uzayı Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Tanjant uzayının geometrik inşası ile cebirsel inşasının karşılaştırılması | 1. Türev, kısmi türev kavramları, baz ve boyut kavramları ile ilgili bilgiler ve R^n üzerinde tanjant doğrusu/düzlemi örneklerine.ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. 2. Tanjant uzaylar konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: [1], 12-21. |
| 4 | Konu Anlatımı: Tanjant uzayı Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Lineer dönüşüm ve diferansiyel kavramları ile reel fonksiyonların zincir kuralı ve çok değişkenli fonksiyonlarda türevlerin uygulamanın yaptırılması | 1. Eğrilerin türevlenebilirliği üzerinden tanjant vektör kavramınına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 3-11. 2. Tanjant vektörü ve vektör alanları arasındaki bağlantıya ilişkin konuların okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 11-14. |
| 5 | Konu Anlatımı: Tanjant demeti Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Kartezyen çarpım ve fiber kavramlarını tekrar ederek tanjant uzaylarının küresel bir yapı olan demet altında birleşimini anlamaya yardımcı kavramların üzerine tartışmanın yapılması | 1. Tanjant uzayı kavramını, diferansiyellenebilir manifoldların tanımını ve basit örneklerini gözden geçirerek, tüm tanjant uzaylarının bir araya getirilmesiyle elde edilen yapıyı anlamaya yönelik bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 1-14. 2. Tanjant demeti ve ilgili kavramların okunması. Kaynak: [1], 34-41. |
| 6 | Konu Anlatımı: Lie türevi Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Vektör alanları ile Lie türevi ilişkisi üzerine bir uygulamanın yaptırılması Kısa Sınav 2 (15 dk.): Vektör alanı kavramını anlama, temel özelliklerini hesaplama, gradyan, diverjans ve rotasyon gibi türevsel analizleri uygulama ve bu alanların manifold üzerindeki davranışlarını içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Vektör alanı kavramını ve türev operatörlerinin temel özelliklerinin hatırlanması ve bir vektör alanı boyunca başka bir vektör alanının türevlenmesi fikri ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: [1], 5-40. 2. Kısa Sınav 2: şimdiye kadar yapılan vektör alanları ve ilgili teorem ile uygulamaları gözden geçirmek. |
| 7 | Konu Anlatımı: Lie türevi Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Diferansiyellenebilir manifoldlarda tanjant uzayları ve Lie türevi yardımıyla lokal koordinatlarda davranışın incelenmesi. | 1. Vektör alanları ve bunların akışları (flow) hakkındaki temel bilgilere ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [1], 34-50. 2. Vektör alanları arasında doğrusal kombinasyon, Lie parantezi (bracket), Tanjant uzayları ve tanjant demeti kavramlarının hatırlanması ve ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: [1], 5-35. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Matris Lie grupları Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Genel lineer matris grupları GL(n,R) ve özel lineer matris grupları SL(n,R) gibi temel matris gruplarına ilişkin tartışmanın yapılması | 1. Matris işlemleri, ters matris, determinant, özdeğer/özvektör kavramları, grup kavramı ve grupların temel özelliklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. 2. Matrix grubunun tanımı, grup ve diferansiyel manifold yapısı üzerine ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: [1], 54-55. |
| 10 | Konu Anlatımı: Lie grupları ve Lie cebirleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Basit düzeyde denklemlerin çözümlerinin nasıl bulunduğu üzerine uygulamanın yaptırılması Kısa Sınav 3 (15 dk.): Grup ve Lie cebiri kavramlarını anlayıp temel örnekleri tanıma, matris grupları üzerinde Lie parantezini hesaplama ve Lie cebiri ile Lie grubu arasındaki ilişkiyi kavrayabilme yeteneğini ölçmek için ilgili konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1.Grup kavramını, matris ve lineer cebir bilgilerini (matris çarpımı, ters matris, determinant, özdeğer/özvektör), dif.bilir manifoldların temel özelliklerini ve vektör alanları ile Lie türevi kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. 2. Lie grup/cebirinin tanımı manifoldlarda verilen örneklerin hangi şartlarda bir Lie grubu olacağıyle ilgili konuları içeren bölümlerin okunması. Kaynak: [1], 82-88.3. Kısa Sınav 3: (matris grupları üzerinde Lie parantezini hesaplama) Kaynak: [1], 40-42 |
| 11 | Konu Anlatımı: Öklid uzayları üzerinde lineer kontrol sistemleri Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Lineer denklem sistemlerinin çözümlerinin disiplin içi ve disiplinlerarası uygulamalarına ilişkin tartışmanın yapılması | 1. Diferansiyel denklemler, sistem dinamikleri kavramları, R^n üzerindeki temel lineer sistem örnekleri, lineer denklem sistemlerinin determinant yardımıyla çözümü ve lineer denklem sistemlerinin çözümünün geometrik uygulamaları konularını içeren bölümlerin okunarak hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [2], 1-15. 2. Öklid uzayları üzerinde lineer kontrol sistemleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 20-25. |
| 12 | Konu Anlatımı: Genel kontrol sistemleri Kısa Sınav 4 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Dinamik sistemler, diferansiyel denklemler, giriş(input)-çıkış(output) ilişkileri ve lineer cebir konularındaki temel bilgilerini tazeleyerek, sistem modeli kurma ve analiz etme kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 2531. 2. Genel Kontrol Sistemleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: [2], 16-24. 3. Kısa Sınav 4: (lineer denklem sistemlerinin geometrik control adı altında Öklid uzayları üzerine uygulaması) Kaynak: Ders Kitabı, 20-25. |
| 13 | Konu Anlatımı: Genel kontrol sistemleri Sınıf-içi Uygulama: (15 dk) Genel kontrol sistemleri üzerine, fiziksel bir örneğin sınıf içi çözümünün yapılıp, bu çözümün analizinin detaylıca incelenmesi | 1. Dinamik sistemler, giriş-çıkış denklemleri, durum uzayı, sürekli ve ayrık zamanlı sistemler ile temel lineer cebir ve analiz bilgilerini hatırlayarak, sistem modeli kurma ve davranış analizine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 95-100. 2. Genel Kontrol Sistemleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: [3], 26-29. |
| 14 | Konu Anlatımı: Kontrol edilebilirlik problemi Sınıf-içi Uygulama: (15 dk) Rocket-Car probleminin sınıf içinde detaylıca ele alınıp, hangi şartlar ile arabanın belirli bir noktada durdurabileceğinin ele alınması Kısa Sınav 5 (15 dk.) Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Lineer sistemlerin durum uzayı temsillerini, dif. denklemlerle tanımlanan sistemlerin ve kontrol fonksiyonu içeren denklem için bunların ilişkilerini hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 64-70. 2. Bir lineer kontrol içeren diferansiyel denklem sisteminin kontrol edilebilirlik problemi ile ilişkili bölümlerin okunması. Kaynak: [2], 36-37. 3. Kısa Sınav 5: Derste işlenen problemin üzerine kısa bir sınav yapılması ve öğrencinin problemi ele alış biçiminin ölçülmesi. |
| 15 | Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Farklı tipteki kontrol problemlerinin tanıtılması ve kurgulanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bu problemlerin farklı bir Lie grubu ya da manifold üzerindeki temsillerinin ne olabileceğine dair tartışmanın yapılması | 1. Herhangi bir Lie grubu veya genel bir türevlenebilir manifold üzerinde kontrol probleminin detaylıca ve iyi tanımlı olacak şekilde kurgusunun hazırlanması ve analizinin yapılması. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | 14 | 5 |
| Laboratuar | ||
| Uygulama | 1 | 15 |
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 6 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 20 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 3 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | 1 | 4 | |
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 4 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 5 | 2 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 10 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 15 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
