| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sayılar Teorisinde Özel Sayılar ve Temel Denklemler | MAT4570 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz, Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Seçmeli @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Murat Alan |
| Dersi Veren(ler) | Murat Alan |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilere sayılar teorisinde özel sayı türlerini ve bu sayılarla ilişkili temel denklemleri tanıtarak matematiğin klasik ve modern problemlerine giriş yapmalarını sağlamaktır. Ders kapsamında öğrenciler, kare sayılar, küp sayılar, Fibonacci ve Lucas sayıları, Pell sayıları, Mersenne ve Fermat sayıları gibi özel sayı dizileri ile tanışacak ve bu sayıların sayı teorisindeki rolünü öğreneceklerdir.Bunun yanı sıra, Pisagors üçlüleri, Diophantine denklemleri, Pell denklemleri, Ramanujan–Nagell tipi denklemler gibi klasik ve modern denklemlerin çözümleri ele alınacaktır. Dersin bir diğer önemli amacı, öğrencilerin bu özel sayılar ve denklemler aracılığıyla matematiksel düşünme, ispat yapma ve problem çözme becerilerini geliştireceklerdir.Ders, öğrencilere sadece teorik bilgi kazandırmakla kalmayıp aynı zamanda bu bilgileri analitik sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi ve kriptografi gibi alanlardaki uygulamalara taşıma imkânı sunmaktadır. Böylelikle öğrenciler, özel sayıların ve denklemlerin modern matematikte ve teknoloji tabanlı uygulamalarda (kriptografi, bilgisayar bilimi, algoritmalar vb.) oynadığı rolü kavrayacak ve teorik kavramları disiplinlerarası problem çözme süreçlerine aktarabilme becerisi kazandırmaktır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Özel sayılar: kare sayılar, küp sayılar ve diğer temel sayı türleri; Fibonacci, Lucas ve Pell dizileri; özellikleri ve uygulamaları; Mersenne ve Fermat sayıları; asal sayı teorisi ile bağlantıları; Pisagor üçlüleri ve özel Diophantine denklemleri; lineer Diophantine denklemleri ve çözümleri; Pell denklemleri ve genelleştirilmiş çözümler; Ramanujan–Nagell tipi denklemler ve modern yaklaşımlar; özel sayıların ve temel denklemlerin analitik sayı teorisi, cebirsel sayı teorisi ve kriptografi ile ilişkileri. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Kare sayılar, küp sayılar ve diğer özel sayı türlerini tanımlayarak temel özelliklerini açıklayabileceklerdir.
- Fibonacci, Lucas ve Pell dizilerinin tanımlarını, özelliklerini ve örneklerini açıklayabileceklerdir.
- Mersenne ve Fermat sayılarının sayı teorisindeki önemini değerlendirerek, bunların asal sayılarla ilişkisini açıklayabileceklerdir
- Pisagor üçlülerini ve bu üçlülerin oluşturduğu Diophantine denklemlerini analiz edebileceklerdir.
- Lineer Diophantine denklemler için çözüm yöntemlerini uygulayabileceklerdir.
- Pell denklemleri ve genelleştirilmiş çözümlerini örneklerle açıklayabileceklerdir.
- Ramanujan–Nagell tipi denklemleri tanımlayarak modern çözümlerini tartışabileceklerdir.
- Özel sayıların ve temel denklemlerin matematiksel ispat yöntemleriyle ilişkisini kurarak soyut düşünme becerilerini geliştirebileceklerdir.
- Özel sayıların ve denklemlerin kriptografi, bilgisayar bilimi ve analitik sayı teorisi gibi alanlardaki disiplinlerarası uygulamalarını örneklendirebileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 | DÖÇ-8 | DÖÇ-9 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Fermat Teoremi, Euler Teoremi ve aritmetik fonksiyonlar ve sayılar teorisinde temel bilgiler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Euler φ fonksiyonunun küçük sayılar için hesaplanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Fermat ve Euler teoremlerinin modern kriptografideki rolünün tartışılması r | 1. Sayılar teorisine giriş dersinden temel kavramların hatırlanması 2. Fermat Teoremi, Euler Teoremi, aritmetik fonksiyonlar ve sayılar teorisinde temel bilgiler ile ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, Bölüm 1-9, 85-93; 131-141. |
| 2 | Konu Anlatımı: Mersenne asalları ve mükemmel sayılar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): 2p - 1 biçiminde sayılar için asal testlerin uygulanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Lucas–Lehmer algoritmasının öneminin tartışılması | 1. Mersenne asalları ve mükemmel sayılar konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 317–325. |
| 3 | Konu Anlatımı: Mersenne asalları ve mükemmel sayılar fermat sayıları Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük n için Fermat sayılarının asal olup olmadığının test edilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Fermat sayılarının düzgün çokgen inşası ile ilişkisinin tartışılması Kısa Sınav 1 (15 dk.) | 1. Mersenne asalları ve mükemmel sayılar Fermat sayıları konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 326–331. |
| 4 | Konu Anlatımı: Kuadratik karşılıklılık ilkesi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük örneklerle Legendre sembolü hesaplamalarının yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Gauss’un kuadratik karşılıklılık ispatının öneminin tartışılması | 1. Kuadratik karşılıklılık ilkesi konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 259–273. |
| 5 | Konu Anlatımı: Pisagor üçlüleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Euclid formülü ile Pisagor üçlülerinin üretilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Pisagor üçlülerinin tarihsel öneminin ve uygulamalarının tartışılması Kısa Sınav 2 (15 dk.) | 1. Pisagor’un Antik Çağ matematiğindeki önemi. 2. Pisagor Üçlüleri konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 333–343. |
| 6 | Konu Anlatımı: Fermat’ın Son Teoremi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): x^4+y^4=z^4 çözümsüzlüğünün gösterilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Fermat’ın Son Teoremi’nin sayı teorisine etkisinin tartışılması | 1. Fermat’ın Son Teoremi konusunu içeren böümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 344–349. |
| 7 | Konu Anlatımı: Fermat’ın Son Teoremi ve benzer denklemler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): x^3+y^3=z^3 için çözümün araştırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Eliptik eğriler ile bağlantılarının tartışılması | 1. Fermat’ın Son Teoremi ve benzer denklemler konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 350–356. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Tamsayıların kareler toplamı olarak temsili Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük n’ler için iki kare toplamı kontrolünün yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Lagrange’ın dört kare teoreminin tartışılması Kısa Sınav 3 (15 dk.) | 1. Tamsayıların kareler toplamı olarak temsili konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 357–370. |
| 10 | Konu Anlatımı: Fibonacci sayıları Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Fibonacci dizisinin ilk 15 teriminin hesaplanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Fibonacci’nin doğa ve bilgisayar bilimlerindeki rolünün tartışılması Kısa Sınav 4 (15 dk.) | 1. Altın oran kavramının araştırılması 2. Fibonacci sayıları konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 371–382. |
| 11 | Konu Anlatımı: Fibonacci sayılarının özellikleri (devam) Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Altın oran bağlantısının araştırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Lucas sayıları ile bağlantılarının tartışılması | 1. Fibonacci sayılarının özelliklerini içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 383–395. |
| 12 | Konu Anlatımı: Sürekli kesirler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Basit irrasyonel sayılar için sürekli kesir açılımının yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Rasyonel yaklaşımda sürekli kesirlerin gücünün tartışılması Kısa Sınav 5 (15 dk.) | 1. Sürekli kesirler konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 399–406. |
| 13 | Konu Anlatımı: Sürekli kesirler ve Pell denklemi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük d değerleri için Pell denkleminin çözümlerinin yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Pell denkleminin Diophantine denklemlerle ilişkisinin tartışılması | 1. Pell denklemi konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 407–415. |
| 14 | Konu Anlatımı: Pell denkleminin özellikleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): x^2-2y^2=1 için çözümlerin bulunması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Sürekli kesirlerin sınırsız çözümler sağlaması hakkında bir tartışmanın yapılması Kısa Sınav 6 (15 dk.) | 1. Pell denkleminin özellikleri konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 416–424. |
| 15 | Öğrenci sunumlarının dinlenmesi Konu Anlatımı: Pell denkleminin farklı denklemlere uygulanışı Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Ders kitabı sonundaki alıştırmaların çözülmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Pell denkleminin genelleştirmelerinin tartışılması | Matlab, Maple veya Python dillerinin birinde dersin konuları üzerine yapılacak bir uygulamanın kodlarının hazırlanması ve örneklendirilmesi. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | 14 | 5 |
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 6 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | 1 | 15 |
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 20 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 3 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 3 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 6 | 3 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | 1 | 10 | |
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 15 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 20 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
