| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Topolojiye Giriş | MAT3171 | 4 | 6 | 4 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Eyüp Kızıl |
| Dersi Veren(ler) | Eyüp Kızıl, Okan DUMAN |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin teorik matematik kültürünü geliştirmelerini, analiz ve diferansiyel geometri gibi derslerde karşılaşılan temel kavramların daha genel bir çerçevede anlaşılmasını sağlamaktır. Bu kapsamda, topolojik uzaylar, taban ve alt uzay yapıları, kapalı kümeler ve limit noktaları gibi temel kavramlardan başlanarak; Hausdorff uzayı, sürekli fonksiyonlar, homeomorfizma ve çarpım topolojisi gibi yapılar incelenmektedir. Ayrıca bağlantılılık, bileşenler, yol bağlantılılık, yol bileşenleri, kompaktlık gibi özellikler ele alınarak, bu kavramların analizin temel taşlarıyla ilişkisi ortaya konulmaktadır. Düzenli ve normal uzaylar gibi ayırma aksiyomlarının da tartışıldığı dersin genel hedefi, öğrencilerin soyut düşünme becerisini artırarak matematiğin farklı alanlarında karşılaşılan yapıları topolojik bakış açısıyla kavramalarını mümkün kılmaktır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Topolojik uzaylar; taban; alt uzay; kapalı kümeler; limit noktaları; Haussdorf uzayı; sürekli fonksiyonlar; homeomorfizma; çarpım topolojisi; bağlantılı uzaylar; bileşenler; yol bağlantılılık; yol bileşenler; kompaktlık; düzenli ve normal uzaylar. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Topolojik uzay, taban, alt uzay, kapalı kümeler ve limit noktaları gibi temel kavramları tanımlayarak bu kavramların özelliklerini sınıflandırabileceklerdir.
- Hausdorff uzayı ve ayrılma aksiyomlarını tanıyıp, bunların farklı topolojik yapılardaki rolünü açıklayabileceklerdir.
- Çarpım topolojisi inşa ederek farklı topolojik uzayların birleşiminden doğan yapıları analiz edebileceklerdir.
- Bağlantılı uzay, bileşenler, yol-bağlantılılık ve yol bileşenlerini ayırt ederek bu kavramların örneklerdeki uygulamalarını tartışabileceklerdir.
- Kompaktlık kavramını ve bunun analizdeki temel rolünü açıklayarak çeşitli uzaylarda kompaktlık örneklerini inceleyebileceklerdir.
- Regüler(düzenli) ve normal uzay kavramlarını tanıyıp, bu uzaylarda ayrılma ve kapalı küme özelliklerini değerlendirebileceklerdir.
- Topolojideki soyut kavramların matematiğin diğer alanları (analiz, cebir, geometri) ile olan ilişkilerini kurabileceklerdir.
- Soyut düşünme becerilerini geliştirerek topolojik kavramları problem çözümüne uygulayabileceklerdir.
- Soyut düşünme becerilerini geliştirerek topolojik kavramları problem çözümüne uygulayabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 | DÖÇ-8 | DÖÇ-9 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Topolojik uzaylar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Topolojik uzay tanımlarına ilişkin basit örnekleme yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Topolojinin matematik içinde ve diğer disiplinlerde kullanım alanıyla ilgili tartışmanın yapılması | 1. Küme ve fonksiyonlar teorisi üzerine genel bilgilerin hatırlanması ve birbirleriyle olan ilişkilerinin hatırlatılması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 1-15; 21-50. 2. Bir kümeler topluluğunun ne zaman bir topolojik uzay olacağı ve bilinen hangi kümelerin topolojik uzay olduğu ile ilgili konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 75-78. |
| 2 | Konu Anlatımı: Taban, alt taban Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Taban ve alt taban kavramlarının örneklemelerinin yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Taban, alt taban kavramlarının topolojik kontekstte anlatımı | 1. Gerçel sayılar üzerindeki aralıkların (açık, kapalı, yarı açık gibi) özelliklerini hatırlamaları ve bunların küme ve fonksiyon teorisindeki yerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 50-60. 2. Topolojik uzaylar için taban ve alt taban kavramlarına ilişkin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 78-83. |
| 3 | Konu Anlatımı: Alt uzaylar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Alt uzay kavramının örneklemesinin yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Alt uzay kavramının diğer disiplinlerde nasıl geçtiği üzerine tartışma Kısa Sınav 1 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması Kısa Sınav 1 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Küme işlemleri, kısıtlanmış fonksiyon kavramı ve reel sayılar üzerindeki aralık örneklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 63-65. 2. Bir topolojik uzayın alt uzayı kavramına ilişkin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 88-90 3. Kısa Sınav 1: (topolojik uzay, taban/ alt taban ve alt uzay kavramları) Kaynak: Ders Kitabı, 75-90. |
| 4 | Konu Anlatımı: Kapalı kümeler, limit noktaları Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Kapalı küme ve bir kümenin limit ya da yığılma noktaların kümesi kavramlarının uygulamasının yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Kapalı küme, limit noktası kavramlarının uygulamalarının tartışılması | 1. Açık kümelerin tanımının, kümelerde kapanış işlemlerinin ve reel sayılar üzerindeki yakınsaklık–limit kavramlarının ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 39-46. 2. Kapalı küme, limit noktası kavramlarına ilişkin ön bilgilerin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 92-97. |
| 5 | Konu Anlatımı: Hausdorff uzaylar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Hausdorff uzayın tanımının yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bir topolojik uzayın Hausdorff olmasının getirileri hakkında tartışma Kısa Sınav 2 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması Kısa Sınav 2 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Ayrık noktalar, reel sayılar uzayında uzaklık kavramı ve farklı noktaları ayıran açık kümelerin buradaki örneklerinin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 49-55. 2. Hausdorff uzayların önemine ilişkin ön bilgilerin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 98-100. 3. Kısa Sınav 2: (Hausdorff topolojik uzay, taban/alt taban ve alt uzay kavramları) Kaynak: Ders Kitabı, 92-100. |
| 6 | Konu Anlatımı: Sürekli fonksiyonlar, homeomorfizma Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Sürekli fonksiyonlar ve topolojik izomorfizma da diyebileceğimiz homeomorfizmanın uygulamasının yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Uzayların homeomorfik olmalarının önemi hakkında tartışma | 1. Fonksiyonların süreklilik tanımının açık halini ve ters fonksiyon kavramını hatırlayarak, reel sayılar üzerindeki örneklerle ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 75-77. 2. Sürekli fonksiyonlar ve homeomorfizma tanım ve özelliklerini içeren kısımların ön bilgilerini ve konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 102-109. |
| 7 | Konu Anlatımı: Çarpım topolojisi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Çarpım topolojisinin sonlu sayıda uzay için olanı üzerine kısa bir giriş yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Çarpım topolojisinin herhangi sayıda uzayın çarpımı söz konusu olduğunda evrileceği diğer alternatif topoloji (kutu topolojisi) hakkında tartışma yapılması Kısa Sınav 3 (15 dk.): Ters yüz edilmiş öğrenme (flipped learning) yöntemi çerçevesinde, ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması Kısa Sınav 3 (15 dk.): Ters yüz edilmiş öğrenme (flipped learning) yöntemi çerçevesinde, ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Küme çarpımı, açık ve kapalı küme kavramlarını hatırlayarak, basit R^n üzerindeki örnekler üzerinde bu kavramlarla ilgili ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 99-103. 2. İki ve daha fazla sayıda topolojik uzayın çarpım uzayının kurulmasına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 86-88; 112-117. 3. Kısa Sınav 3: (çarpım topolojisi, alt taban ve süreklilik) Kaynak: Ders Kitabı, 86-117. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Metrik topoloji Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Metrik topolojinin tarifinin yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Topolojik uzaylar ile metrik uzaylar arasındaki farklara vurgu yapılması ve mesafe kavramının herhangi bir topolojik uzayda bir anlamının olmayabileceği hakkında örnekle verilip tartışılması | 1. Reel doğru üzerindeki mutlak değer fonksiyonunun bir metrik olduğunu ve burada uzaklık kavramını gözden geçirerek, açık ve kapalı kümeler ile yakınsaklık örnekleriyle ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 29-53. 2. Metrik kavramına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 119-125;129-132. |
| 10 | Konu Anlatımı: Bağlantılı uzaylar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Ayrım kavramı verilmek sureti ile uzayın bağlantılı olmasının ne anlama geldiğinin anlatılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bağlantılılık kavramının neden bir topolojik uzay için topolojik invaryant olduğu hakkında tartışma Kısa Sınav 4 (15 dk.): Ters yüz edilmiş öğrenme yöntemi çerçevesinde, ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Küme ve fonksiyon bilgilerini tazeleyerek, R (veya R^n) üzerindeki aralıkların bağlantılılık özelliklerini ve birleştirilebilir kümelerle ilgili kısımların ön bilgilerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 143-144. 2. Bir uzayın ayrımına ve akabinde bağlantılılık kavramına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 147-155. 3. Kısa Sınav 4: (metriklenebilirlik, bağlantılılık) Kaynak: Ders Kitabı, 119-155. |
| 11 | Konu Anlatımı: Bileşenler ve yol-bağlantılılık Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Bağlantılı bileşen tanımının denklik bağıntısı kavramı üzerinden öğrenciye anlatılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Yol-bağlantılık ve bağlantılık arasındaki ilişki üzerine tartışma yapılması | 1. Bağlantılılık kavramını gözden geçirerek, R ve R^2 üzerindeki örneklerle bileşen ve yol bağlantılılık ilişkilerinin ön bilgilerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 119-155. 2. Denklik bağıntısı üzerinde bileşen kavramına ilişkin ön bilgi verilmesi ve uzayın hangi şartlar altında bağlantılı olduğu kavramına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 155-162. |
| 12 | Konu Anlatımı: Kompakt uzaylar I Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Örtü kavramından bahsedilerek uzayın kompakt olmasının ne demek olduğunun öğrenciye anlatılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Kompaktlığın neden topolojik invaryant olduğu ve dolayısı ile topolojik denklik için bir argüman olarak kullanılabileceği hususu üzerine tartışma | 1. Açık örtüler ve alt örtüler kavramlarını reel sayılar üzerindeki kapalı ve açık küme örnekleriyle birlikte ele alınarak hatırlanması ve etkinleştirilmesi, Kaynak: Ders Kitabı, 92-97. 2. Açık örtü ve kompaktlık kavramlarına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 163-165. |
| 13 | Konu Anlatımı: Kompakt uzaylar II Sınıf-içi Uygulama: (5 dk.) Sonlu arakesit özelliği ile kompaktlık arasında ilişki kurulması Sınıf-içi Tartışma: (5 dk.) Herhangi sayıda kompakt uzayın çarpımının kompakt olup olmaması hususunda tartışma | 1. Limit noktaları ve yakınsak diziler kavramlarını tekrar ederek kompatlığın dizisel anlamda, reel doğruda ne olduğunun hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 161-166. 2. Kompakt uzayların çarpımları, kapalı alt kümeleri, sürekli fonksiyon altında korunuyor olmaları gibi kavramlara ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 166-170; 172-174. |
| 14 | Konu Anlatımı: Düzenli ve normal uzaylar Sınıf-içi Uygulama: (5 dk.) Düzenli ve normal uzay tanımlarının öğrenciye ayırma aksiyomları bağlamında anlatılması Sınıf-içi Tartışma: (5 dk.) Hausdorffluk ile düzenli ve normal uzaylar arasındaki kapsama bağıntısının tek yönlü olması hususunda tartışma | 1. Kapalı kümeler ve ayırma aksiyomlarını hatırlayarak, Öklid ve basit topolojik uzay örneklerinde noktalar ile kapalı kümelerin ayrılmasını gözden geçirmesi. Kaynak: Kitap [1], 231-234. 2. Ayırma aksiyomlarından olan Hausdorfluk bahsinin hatırlanması ve düzenli uzay ile arasındaki kavramlara ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 195-199. 3. Bir ayırma aksiyomu olarak normal uzay kavramının verilmesi ve düzenli uzay ile mukayesesinin yapılarak ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 200-203. |
| 15 | Final | İşlenen konuların tümünün tekrar edilmesi |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | 14 | 5 |
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 35 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 20 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 4 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 4 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 2 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 10 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 15 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
